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多物理場模型最佳化（Optimize Multiphysics Models）

最佳化模組是 COMSOL Multiphysics® 的擴充套件，提供參數最佳化（parameter optimization）、形狀最佳化（shape optimization）以及拓墣最佳化（topology optimization），同時也支援參數估測（parameter estimation）。當此模組與其他 COMSOL 系列模組結合使用時，可針對電磁、結構力學、聲學、流體流動（fluid flow）、熱傳（heat transfer）等多種物理現象所涉及的裝置或流程進行最佳化。若結合 CAD Import Module、Design Module 或任一 LiveLink™ for CAD 產品，還能對幾何尺寸（geometric dimensions）進行最佳化。

在進行最佳化時，需要定義目標函數（objective function）與一組可變動的設計變數（design variables），並可選擇性地加入限制條件（constraints）。軟體將在此基礎上搜尋最優化設計（optimal design）。無論是幾何尺寸、零件形狀、材料特性或材料分佈，都能視為設計變數；而任意模型輸出皆能作為目標函數，進行最大化或最小化的求解。


可以用最佳化模組做什麼？

最佳化模組可與任何 COMSOL 擴充產品結合，用於不同物理領域的最佳化。以下是幾個應用範例：

結構拓墣最佳化（Structural Topology Optimization）

拓墣最佳化應用於吊鉤（hook）的設計示例：在給定總重量的條件下，透過最佳化材料分佈以達到最佳柔度（compliance）。

線圈最佳化（Coil Optimization）

對十匝線圈（ten-turn coil）進行參數與形狀最佳化，目標為提升磁通密度（magnetic flux density）並降低功率耗散（power dissipation）。

磁鐵參數最佳化（Parameter Optimization for Magnets）

針對電機（electric motor）中永久磁鐵（permanent magnets）的位置與形狀進行參數最佳化，以獲得最佳扭矩（torque）。

磁路拓墣最佳化（Topology Optimization for Magnetics）

對用於揚聲器驅動單元（loudspeaker driver）中的磁路（magnetic circuit）進行拓墣最佳化，以降低大振幅非線性響應（large-displacement nonlinear response）。

揚聲器元件最佳化（Optimization of Loudspeaker Components）

對高音喇叭（tweeter dome）及導波管（waveguide）進行形狀最佳化，改善頻率響應曲線（response curve）並優化聲波輻射模式（radiation pattern）。

聲學頻率響應最佳化（Acoustic Frequency-Response Optimization）

對聲學解多工器（acoustic demultiplexer）進行形狀最佳化，讓不同頻帶的聲能分別流向不同的輸出端口。

流體流動最佳化（Fluid Flow Optimization）

針對 Tesla 微閥（Tesla microvalve）進行參數、形狀及拓墣最佳化，以在雙向流動（bidirectional flow）下，最大化壓力降（pressure drop）的比值。

管線網路最佳化（Optimization of Pipeline Networks）

針對區域供熱網路（district heating network）配置進行拓墣最佳化，以獲得最佳的管線佈局。

最佳化模組的功能與特色（Features and Functionality in the Optimization Module）

COMSOL Multiphysics® 針對可用的各類最佳化方法，提供專門的使用者介面與專屬解算器（solvers）。

參數最佳化（Parameter Optimization）

在 COMSOL Multiphysics 中建立參數最佳化時，只需新增一個通用最佳化研究（general-purpose Optimization study）。在對應的設定視窗（Settings window）中，使用者需指定目標函數（objective function）、**控制變數（control variables）與參數（parameters），以及可能的限制條件（constraints）。用於參數最佳化的參數可以是建置模型時所使用的參數（例如幾何尺寸、材料特性或邊界載荷），與參數掃描（parametric sweep）可取得整個設計參數空間的概覽不同，參數最佳化則會提供最優化參數（optimal parameters）**及對應的目標函數值。

當用於定義幾何尺寸的參數被拿來做參數最佳化時，每次疊代（iteration）都需要重新網格劃分（remeshing）。這個過程在最佳化模組（Optimization Module）中是全自動的。完成後的最優解總能保持為一個可直接匯出的真實 CAD 零件（true CAD part），且可輸出至符合業界標準的 CAD 格式。此功能需要配合 CAD Import Module、Design Module 或任一 LiveLink™ for CAD 產品。

形狀最佳化（Shape Optimization）

除了調整一組 CAD 參數之外，COMSOL 也內建了**形狀最佳化（shape optimization）**功能，能讓幾何在 2D 或 3D 中更自由地形變。此方法提供更高的自由度，有時甚至能比參數最佳化得到更理想的結果。軟體內也提供一整套專門的介面，方便使用者輕鬆定義哪些邊界能在模型中允許形變。此外，亦有針對殼體（shell）的形狀最佳化功能，以及可控制解算器的形狀最佳化研究類型。

用於實體（solid）形狀最佳化的工具，是透過在網格上受控地進行形變，而無需重新網格劃分（remeshing）。完成最佳化後的幾何可輸出為 STL、3MF 或 PLY 等曲面網格格式（faceted surface mesh），可在 COMSOL Multiphysics 中重新利用，或匯出至其他軟體使用。

拓墣最佳化（Topology Optimization）

拓墣最佳化（Topology Optimization）所能提供的幾何變動自由度，比參數最佳化與形狀最佳化（shape optimization）更大。此方法允許在最佳化過程中動態移除或添加材料，甚至在原始設計中未存在的區域產生孔洞，往往能得到外型近似有機曲線的設計。此方法也因能大幅減輕重量（light weighting）而廣受歡迎。為此，COMSOL Multiphysics 提供**專門的拓墣最佳化介面（dedicated user interface）**與研究設定。

由於拓墣最佳化的高度自由度，最終產生的設計有時無法用傳統製造方式生產；因此在建模時常加入製造限制（manufacturing constraints），以確保最佳化後的設計可透過擠型（extrusion）或銑削（milling）等方式生產。

與形狀最佳化類似，拓墣最佳化不需要在每次疊代時重新網格劃分。最終的平滑化設計可輸出為 STL、3MF 或 PLY 檔案格式，方便在其他軟體中進行後續使用，或在 COMSOL Multiphysics 內進行進一步驗證分析。

 

參數估測（Parameter Estimation）

模型的準確度取決於其輸入參數，但材料供應商提供的材料常數（material parameters）不一定足夠精準。若模型存在非線性行為（nonlinearities），可能需要透過實驗方式來校正參數。然而，要設計可用傳統解析法萃取參數的實驗並不容易。

針對此情況，可透過最佳化模組所提供的參數估測（parameter estimation）功能，找出能讓真實實驗與模擬實驗差距最小的模型參數組合。除了一般參數估測介面外，軟體也提供**曲線擬合（curve fitting）**的專用介面，可用於讓時間相依（time-dependent）資料擬合至模型所計算的曲線（model expression）。

此參數估測方法以**最小平方法（least-squares fitting）**為基礎，適用於量測數據為時間函數或單一參數函數的情境。在許多應用案例中，系統可提供所估測參數的變異數（variance）與信賴度（confidence）之粗略估計。

為協助快速上手參數估測，系統也提供即用型應用程式（ready-to-use app）。使用者可匯入量測資料或使用應用程式內建範例，並可自行輸入模型表達式（model expression）以進行曲線擬合。

梯度型解算器（Gradient-Based Solvers）

梯度型最佳化方法（Gradient-based optimization methods）適用於可透過對偶法（adjoint method）有效計算偏導數的情況。只要目標函數與限制條件為可微分（differentiable），即使是自訂（custom）的多物理耦合分析也可使用此方法。由於 COMSOL Multiphysics 的核心技術支援符號微分（symbolic differentiation），因此可為使用者提供進行高度自訂分析時所需的彈性。

當設計問題涉及成千上萬，甚至數百萬個變數時，通常適合使用梯度型最佳化方法。這種狀況常見於形狀或拓墣最佳化中，因為設計變數代表了分散在整個空間中的場量（field quantities），而每個網格單元（mesh element）都有各自的變數值。

梯度型方法能一次性計算所有解析導數（analytic derivatives），而非梯度型（derivative-free）方法則須分別近似每個導數，當設計變數數量龐大時，往往會花費更多時間。

最佳化模組支援的梯度型方法包括：

  • MMA（method of moving asymptotes） 與 GCMMA
  • IPOPT（interior point optimizer）
  • SNOPT（sparse nonlinear optimizer）
  • Levenberg–Marquardt

這些方法可應用於下列研究類型：

  • 定常（Stationary）：包含頻域（Frequency Domain）與頻率–定常（Frequency-Stationary）
  • 特徵值（Eigenvalue）：包含特徵頻率（Eigenfrequency）以及定常後特徵頻率（Stationary Then Eigenfrequency）
  • 時域（Time-dependent）與頻率–暫態（Frequency-Transient）：包含完全離散對偶（fully discrete adjoint）及半離散對偶（semidiscrete adjoint）

 

無梯度解算器（Derivative-Free Solvers）

若最佳化求解器所需的搜尋方向（search directions）只能間接計算，則需要使用無梯度最佳化方法（derivative-free optimization methods）。這在參數最佳化時尤為常見，因為在幾何尺寸為控制變數（control variables）的情況下，每次疊代都需重新網格劃分。

最佳化模組中包含下列無梯度方法：

  • Nelder–Mead（單純形法，simplex method）
  • BOBYQA（bound optimization by quadratic approximation）
  • COBYLA（constraint optimization by linear approximation）
  • EGO（efficient global optimization）

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