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追蹤帶電粒子與流體中粒子（Track Charged Particles and Particles in Fluid Flow）

粒子追蹤（particle tracing）是一種數值方法，透過隨時間解粒子的運動方程（equations of motion），來計算單個粒子的軌跡。與 COMSOL Multiphysics® 軟體中其他常見的求解方法不同，粒子追蹤會解出離散的多條軌跡，而非連續場（continuous field）。

在模擬中，粒子可能代表離子（ions）、電子（electrons）、生物細胞（biological cells）、沙粒（grains of sand）、拋射物（projectiles）、水滴（water droplets）、氣泡（bubbles），甚至是行星或恆星。依據模擬粒子的類型，可選擇多種內建力（built-in forces）來影響其運動。例如，可用於預測電子在電磁場（electric and magnetic fields）中的運動，或模擬塵埃因重力與大氣阻力（atmospheric drag）而沉降的過程。使用者也能設定粒子的初始位置與速度，並指定粒子在幾何邊界碰撞（hit boundaries）時所發生的事件。

帶電粒子追蹤（Charged Particle Tracing）

對於設計質譜儀（spectrometers）、電子槍（electron guns）及粒子加速器（particle accelerators）而言，精準預測離子或電子在外加場中的運動至關重要。這些外加場可由使用者自行定義，或是取自先前的分析結果。外加場可為定常（stationary）、隨時間變動（time dependent）或經由頻率域（frequency domain）求解而得。您可同時套用多組不同場，將定常與時諧場（time-harmonic fields）疊加於同一模擬中。

粒子運動多半不在真空中進行，您可將任何帶電粒子追蹤模型轉換為蒙地卡羅碰撞模型（Monte Carlo collision model），為粒子與周圍氣體分子發生碰撞提供機率。這可能導致粒子改變方向，甚至發生電離（ionization）或電荷交換（charge exchange）等反應。

最簡單的帶電粒子追蹤模型採用單向耦合（unidirectional or one-way coupling），即先求解場，再以該場定義粒子所受力。然而，如果粒子的電流密度（beam current）足夠大，則需考慮雙向耦合（bidirectional or two-way coupling），亦即粒子本身會影響場分佈。軟體內建了多種分析類型，可方便地設定此類雙向耦合模型。

流體中粒子的追蹤（Particle Tracing for Fluid Flow）

空氣中水滴的擴散與蒸發（dispersion and evaporation）、微流體晶片（lab-on-a-chip）中生物細胞的遷移，以及油氣管線壁面受沈積物（sediment）的影響，都可視為流體中粒子追蹤的應用範例。

對於流體中的粒子而言，最重要的力通常是阻力（drag）及重力（gravity）。依據應用需求，也可加入其他力，例如電力（electric force）、磁力（magnetic force）、熱泳力（thermophoretic force）或聲輻射力（acoustic radiation force）等。如果流體為湍流（turbulent），或粒子尺寸小到布朗運動（Brownian motion）不可忽視，則粒子運動中會包含隨機成分。

粒子可能有相同尺寸，或依照尺寸分佈（size distribution）進行抽樣。此外，也能模擬粒子在傳輸過程中受周圍環境加熱或冷卻（particle heating or cooling），甚至因為化學或物理作用而增減質量（gain or lose mass）。

對於較大粒子，**完整慣性描述（full inertial treatment）**的運動方程能更精準預測其加速度。流體速度場可由使用者手動輸入或取自先前的分析。系統同時也提供多種近似方法，以大幅減少運算量，特別適用於慣性可忽略的小粒子。

數學粒子追蹤（Mathematical Particle Tracing）

除了針對帶電粒子與流體中粒子的內建功能外，Particle Tracing Module 也提供通用介面（general-purpose interface），讓使用者自行定義任意粒子運動方程。可對釋放機制（release features）、邊界條件（boundary conditions）、區域條件（domain conditions）及施加的力（forces）進行高度自訂。

針對粒子的受力可直接依據牛頓第二定律（Newton’s second law of motion）加以施加，或經由對**拉格朗日量（Lagrangian）或哈密頓量（Hamiltonian）**進行指定，間接定義粒子系統的力場。


Particle Tracing Module 的功能與特色

此模組提供在流體中追蹤粒子，以及在外加場中追蹤離子或電子的專屬工具。

多種粒子釋放方式（Variety of Particle Release Features）

**粒子釋放（particle release）**功能可設定粒子的初始位置與速度。使用者可選擇從幾何中的特定域（domains）、邊界（boundaries）、稜線（edges）或點（points）釋放粒子。若需更精細地控制初始位置，亦可直接輸入坐標陣列（array of coordinates）或從文字檔（text file）載入初始位置與速度。此外，也提供專門的釋放功能來模擬以下情境：

  • 非層流（nonlaminar）離子/電子束（ion/electron beams），並指定其發射度（emittance）。
  • 熱電子發射（thermionic emission）：從燈絲（hot cathode）發射的電子。
  • 噴霧（spray）：例如從噴嘴（nozzle）釋放液滴。

自訂粒子與壁面交互作用（Customizable Particle–Wall Interactions）

粒子在模擬域中移動時，會自動偵測與幾何邊界碰撞的情形。當粒子撞擊壁面時，可自訂下列行為：

  • 停止移動或消失
  • 擴散反射（diffuse reflection）或鏡面反射（specular reflection）
  • 依自訂方向反射（fly off in a user-defined direction）

也可在同一表面指定多種壁面交互方式，並為其中每一種設定發生機率（probability）或其他判斷條件。此外，也能觸發次級粒子發射（secondary particle emission），在幾何中產生新的粒子。

蒙地卡羅碰撞模型（Monte Carlo Collision Modeling）

當離子或電子在空間中移動時，可能與其周圍的氣體分子隨機碰撞。透過設定蒙地卡羅碰撞模型（Monte Carlo collision models），粒子就有機率基於其速度、氣體密度及碰撞截面（collision cross-section）資料與週遭氣體分子碰撞。此類碰撞可能是彈性碰撞（elastic collision），亦可能導致電離（ionization）或電荷交換（charge exchange）等反應，模型中將因此引入新的粒子物種（particle species），如次級電子（secondary electrons）。

定義具有不同特性的多種粒子物種（Define Multiple Species with Different Properties）

在流體中追蹤粒子時，需先定義粒子的密度（density）與尺寸（size）才能正確施加阻力與重力。依據模型考量的其他力種類，可能還需輸入相對介電常數（relative permittivity）、熱傳導係數（thermal conductivity）甚至動黏度（dynamic viscosity，若模擬液滴）等資訊。使用者可直接輸入粒子物性，也可從內建的豐富材料屬性資料庫中載入。

若要同時模擬多種不同物質的粒子，可在同一模型中定義多個粒子物種，每種物種具有獨立的材料特性。若粒子材質相同但尺寸有別，也可透過分佈（distribution）方式在釋放過程中隨機抽樣質量或直徑。

粒子–場雙向耦合（Coupled Particle–Field Interactions）

帶電粒子之間會因電荷極性相同或相反而相互排斥或吸引。這也是為何電子束（electron beam）在前進過程中往往會擴散（diverge）。

在 COMSOL 中，可透過兩種方式模擬此排斥或吸引現象：

1.    庫倫力（Coulomb force）：適用於粒子數量較少的情況，可直接為每對帶電粒子定義庫倫作用力。

2.    體積空間電荷密度（volumetric space charge density）：適用於大量粒子，可先計算空間電荷密度，再用以改變粒子周圍的電位（electric potential）。此時需反覆求解粒子軌跡與電位場，以進行**自洽（self-consistent）**雙向耦合分析。

自洽空間電荷限制發射（Self-Consistent Space-Charge Limited Emission Modeling）

現代電子槍（electron gun）設計需要精確描述在陰極（cathode）或電漿源（plasma source）附近的粒子速度與電場；此處的粒子通常以相對低的動能（kinetic energy）釋放。使用者可套用內建功能來模擬電子由陰極釋放的空間電荷限制發射（space-charge limited emission）；若電子熱分佈（thermal distribution）對解的影響顯著，也能進行更高精度的**熱電子發射（thermionic emission）**分析。



在層流或紊流中追蹤粒子（Track Particles in Laminar or Turbulent Flows）

在模擬湍流（turbulent）流動時，為降低運算成本，常用**RANS（Reynolds-averaged Navier–Stokes）**方程。RANS 透過增加額外輸運方程來預測流體速度中的湍流漲落平均行為，而非在每個位置與時刻上精細地模擬流場。

若要在使用 RANS 的湍流中追蹤粒子，可將阻力（drag）視為**平均流（mean flow）與速度漲落或渦旋（velocity fluctuations or eddies）的組合。透過內建的離散隨機漫步（discrete random walk）或連續隨機漫步（continuous random walk）**模型，可從基於湍流動能平均值之分布中隨機抽樣渦旋。

相對論性粒子追蹤（Relativistic Particle Tracing）

當粒子速度接近光速（speed of light）時，需在經典牛頓力學之上進行修正，才能精確描述粒子運動。Particle Tracing Module 提供考量狹義相對論（special relativity）影響的選項，以追蹤高速粒子。相對論性粒子束（relativistic particle beam）本身會在周圍產生顯著電場與磁場，因此自洽模型同時包含對電場與磁場的雙向耦合。

建立並求解自訂運動方程式（Formulate and Solve Custom Equations of Motion）

使用者可在牛頓方程（Newtonian formulation）中自訂粒子所受的力，或在無質量形式（massless formulation）下直接指定粒子速度，亦可輸入自訂的拉格朗日量（Lagrangian）或哈密頓量（Hamiltonian）。

COMSOL 提供多種時間域解算器（time-dependent solvers）用於求解粒子的運動方程，包括能處理高度剛性方程（stiff equations）的隱式解算器（implicit solvers），以及快速且精準的龍格–庫塔（Runge–Kutta）方法。軟體會根據運動方程式的型態自動選擇預設的時間步進演算法，但使用者仍可視需要輕鬆更改解算器選項。

視覺化與動畫化粒子軌跡（Visualize and Animate Particle Trajectories）

使用者可將瞬時粒子位置呈現為點（points）、箭頭（arrows）或彗星尾（comet tails），並以線（lines）、管狀（tubes）或平帶（flat ribbons）方式繪製粒子軌跡。可使用任何在粒子或粒子所佔空間中定義的表達式（expression）為軌跡上色。此外，還可使用**龐加萊映射（Poincaré maps）來顯示粒子軌跡與特定平面的交點，也可利用相平面圖（phase portraits）**觀察粒子在動量空間（momentum space）的演化。

使用者能輕鬆地在相同繪圖群組（plot group）中結合不同繪圖類型，並將粒子運動製作成動畫。可以將繪圖或動畫匯出至檔案，或將解的原始資料（raw solution data）匯出以供進一步分析。內建的運算子與變數（operators and variables）亦可提供粒子統計的概覽。

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