輸入參數（Input Parameters）與感興趣量（Quantities of Interest）

在執行不確定性量化研究時，需要在 COMSOL Multiphysics® 模型解之基礎上定義一組感興趣量。換句話說，感興趣量是輸入參數的函數。

以結構分析為例，感興趣量可能是最大位移（maximum displacement）、應力（stress）或撓曲角度（deflection angle）。若是熱傳或 CFD（計算流體力學，Computational Fluid Dynamics）分析，感興趣量可包含最大溫度（maximum temperature）、總熱損失（total heat loss）或整體流量（total fluid flow rate）。在電磁模擬中，則可能是電阻（resistance）、電容（capacitance）或電感（inductance）。由於不確定性量化模組適用於所有在 COMSOL Multiphysics® 中計算的物理模型，以及對各種場量（field quantities）進行運算的任何數學表達式，因此能選擇作為感興趣量的項目幾乎無限。

任何具有不確定性的模型輸入（如物理設定（physics setting）、幾何維度（geometric dimension）、材料特性（material property）或離散化設定（discretization setting））都可視為輸入參數，而任何模型輸出都可用來定義感興趣量。輸入參數可透過機率分布函數（probability distributions）進行解析抽樣（analytically sampled），或由使用者自行提供資料進行抽樣。採用解析抽樣的輸入參數可以是相關（correlated）或不相關（uncorrelated）。若輸入參數之間為相關，則可將其歸類成相關群組（correlation groups），並透過**高斯 Copula 方法（Gaussian copula method）**進行抽樣。

篩選（Screening）

篩選使用一種輕量級的全域篩選方法，可定性地評估各輸入參數的重要性。此方法純粹以抽樣為基礎，採用Morris one-at-a-time（MOAT）**方法，所需的 COMSOL 模型評估次數相對較少。因此，當輸入參數數量過多，無法負擔更高運算成本的不確定性量化研究時，這種方法是理想的選擇。

對於每個感興趣量（quantity of interest），MOAT 方法會計算每個輸入參數的 MOAT 平均值（mean）與 MOAT 標準差（standard deviation），並將這些數值顯示在一個 MOAT 散佈圖（scatter diagram）中。依照 MOAT 平均值與 MOAT 標準差的排序，即可判斷各輸入參數的重要程度。

• MOAT 平均值（mean）高：表示該參數對感興趣量的影響顯著。
• MOAT 標準差（standard deviation）高：表示該參數具顯著影響力，且其影響可能來源於與其他參數的強烈交互作用（interaction）或非線性影響（nonlinear influence），或兩者皆有。
  

敏感度分析（Sensitivity Analysis）

敏感度分析用於計算感興趣量對輸入參數的敏感程度。此研究類型包含兩種方法：Sobol 方法（Sobol method）與相關性方法（correlation method）。

Sobol 方法（Sobol Method）

Sobol 方法分析整個輸入參數分布，並將每個感興趣量的變異分解為來自各輸入參數及其交互作用的貢獻度。

• Sobol 指數（Sobol indices）：對於每個輸入參數，Sobol 方法會計算 Sobol 指數。
• 一階 Sobol 指數（first-order Sobol index）：顯示某單一輸入參數的變異對感興趣量變異的貢獻度。
• 總 Sobol 指數（total Sobol index）：顯示某輸入參數及其與其他參數交互作用的變異，對感興趣量變異的總貢獻度。

在專門的 Sobol 圖（Sobol plot）中可視化所有感興趣量及對應參數的 Sobol 指數，其長條圖會依照總 Sobol 指數排序，總 Sobol 指數最高的參數即為感興趣量最敏感的參數。若某參數的總 Sobol 指數與一階 Sobol 指數差距越大，代表該參數與其他參數間的交互作用影響越顯著。

與篩選方法相比，敏感度分析可更定量地解釋各輸入參數不確定性對感興趣量不確定性的貢獻，然而由於準確計算 Sobol 指數仰賴高品質的代理模型（surrogate model），此方法需要更高的運算資源投入。

相關性方法（Correlation Method）

相關性方法用來計算各輸入參數與感興趣量之間的線性（linear）與單調（monotonic）關係。對於基於相關性方法的敏感度分析，下列四種相關性可供計算：

• 雙變數（bivariate）
• 排序後雙變數（ranked bivariate）
• 偏相關（partial correlation）
• 排序後偏相關（ranked partial correlation）
  

不確定性傳遞（Uncertainty Propagation）

不確定性傳遞用於分析輸入參數的不確定性如何傳遞至感興趣量，並透過估計其機率密度函數（probability density function, PDF）加以呈現。對於大多數應用而言，將輸入參數映射至感興趣量的底層物理運算（透過 COMSOL Multiphysics® 模型評估）往往無法解析計算，因此需要透過蒙地卡羅分析（Monte Carlo analysis）**來逼近感興趣量的 PDF。

與 Sobol 方法類似，為大幅降低蒙地卡羅分析的運算量，會使用代理模型（surrogate model）。對於每個感興趣量，使用核心密度估計（kernel density estimation, KDE）並以圖形方式顯示其機率密度函數的近似值。根據此分析結果，系統亦會產生信賴區間表（confidence interval table），提供每個感興趣量的平均值（mean）、標準差（standard deviation）、最小值（min）、最大值（max），以及在 90%、95% 和 99% 信賴水準（confidence levels）下的上下界（lower 和 upper bound）資訊。

可靠度分析（Reliability Analysis）

與其他主要探討感興趣量全域不確定性的研究類型相比，**可靠度分析（Reliability analysis, EGRA method）**聚焦於更直接的問題：在某個名義設計（nominal design）和特定不確定輸入參數條件下，設計失效（failure）的機率是多少？這裡的「失效」可以是設計的徹底損壞，也可以是一種不符品質標準的情形。

為保證設計的可靠度，傳統的模型與模擬方法常使用安全係數（safety margin）與最壞情境（worst-case scenario）。然而，透過可靠度分析，我們可以更準確地估計實際失效率（failure probability），避免過度或不足的設計。

• 從不確定性傳遞研究得到的信賴區間表，即可提供一個粗略估計。
• 但透過可靠度分析，我們可根據感興趣量與其臨界值（threshold）之間的複合關係，定義更精細的可靠度準則。
• 可靠度分析研究使用的**EGRA（efficient global reliability analysis）**方法可有效聚焦計算資源於分隔設計失效與成功的極限狀態（limit state），達到更高效率。
  

代理模型（Surrogate Models）與反應曲面（Response Surfaces）

使用 Sobol 方法進行敏感度分析、不確定性傳遞以及可靠度分析時，都仰賴類似蒙地卡羅的分析，因此通常需要大量的模型評估才能達成良好的精度。對於真實且複雜的問題——其中 COMSOL Multiphysics® 的模型評估耗費可觀資源，且不確定性量化分析牽涉多個參數時，僅使用 COMSOL Multiphysics® 進行蒙地卡羅評估往往在計算上是不可行的。因此，不確定性量化模組的一大特色就是能為特定的 UQ 分析訓練並使用所謂的代理模型（surrogate model）或元模型（metamodel），以節省運算資源。

代理模型是一種緊湊的數學模型，用於在輸入參數定義的範圍內，表示並評估感興趣量。此模型完全獨立於底層的 COMSOL Multiphysics® 模型，一旦經過適當訓練後，便可用於預測在尚未實際解算之輸入參數下的感興趣量。

• 一般會採用**自動自適應（adaptive）**的方式建構代理模型，可用高精度逼近原模型。
• 透過使用者自行設定的容忍度（tolerance），可提高代理模型的精確度；然而更高精度也意味需要額外的 COMSOL Multiphysics® 模型評估次數。

當代理模型完成訓練後，可進行獨立驗證（independent verification）以進一步測試其有效性。此時，也能快速為整個輸入參數空間計算**反應曲面（response surface）**資料，並視覺化顯示感興趣量相對於兩個輸入參數的變化。代理模型亦可作為全域函數（global function）提供，供一般用途使用。

逆向不確定性量化（Inverse Uncertainty Quantification, Inverse UQ）
逆向不確定性量化用於當部分輸入參數的機率分布未知（這些參數稱為校正參數（calibration parameters））時。透過逆向不確定性量化，可以利用實驗數據向後推導，進而瞭解這些校正參數的統計特性。在執行逆向不確定性量化之前，需為每個校正參數先設定先驗機率分布（prior probability distribution）。

通常，我們對**感興趣的物理量（quantities of interest）**及實驗中使用的參數都有實驗數據，但也存在無法直接量測的校正輸入參數。例如，考慮一個欲校正某機械零件之楊氏模數（Young’s modulus）的實驗。實驗中可量測在特定材料位移（material displacement）下的拉伸應力（tensile stress）。若要進行逆向不確定性量化研究，便可使用此實驗數據與對楊氏模數的先驗知識，來校正能夠最有效重現實驗量測拉伸應力之機率分布。逆向不確定性量化可應用於各類基於物理的模型，包括結構力學（structural mechanics）、流體流動（fluid flow）、聲學（acoustics）、熱傳（heat transfer）、電磁學（electromagnetics）以及化工工程（chemical engineering）等領域。

為使校正參數之後驗機率分布（posterior probability distributions）的計算可行，通常會搭配代理模型（surrogate model）以及馬可夫鏈蒙地卡羅方法（Markov chain Monte Carlo, MCMC）一起使用。計算完成後，便可視覺化顯示這些校正輸入參數的聯合（joint）與邊際（marginal）機率分布。此外，系統也會生成信賴區間表（confidence interval table），提供各校正參數的平均值（mean）、標準差（standard deviation）、最小值（minimum）與最大值（maximum），以及在 90%、95% 與 99% 信賴水準（confidence levels）下的上下界（lower bound 與 upper bound）等資訊。